C'est toujours mauvais signe quand je me lance dans des usines à gaz. En général le signe que je fuis quelque chose. Et il faut bien avouer que les choses à fuir ne manquent pas. Laissons ça de côté, voici l'histoire d'un calcul rigolo.

L'autre jour, je trébuche sur 144 (quand on vous parle d'un nombre réel, c'est qu'on peut buter dessus. i ne vous posera jamais ce problème). Je me dis "tiens, mais c'est qu'il est vachement divisible celui-ci!" Très divisible certes, mais en même temps pas tant que ça puisqu'il n'est fait que de deux et de trois. Alors que 60, par exemple, on peut le diviser par 2, 3, 4, 5 et 6 (entre autres). Mieux, c'est leur ppcm. Mézofète, qu'y a-t-il après 60? 420, pour prendre le 7. Puis 840 puisque 420 n'est divisible que 2 fois par 2. Ensuite 2520 pour être divisible deux fois par 3. Et d'ailleurs 2520 est aussi divisible par 10. Et après, à l'infini, ça se comporte comment?

J'ai imaginé deux façons de calculer ce que j'appellerai P(N) = ppcm (1..N). La première est la plus jolie. Elle passe par les primorielles. Je n'ai pas de beau LaTeX sous la main alors il faut juste un peu d'imagination pour voir comme c'est joli :

P(N) = PI(k=1 à Log2(N)) (E(N^1/k))#

C'est tout simple. C'est encore plus joli, mais moins pratique, en faisant aller le produit jusqu'à l'infini, rien que pour le principe. Autre méthode, itérative et plus plan-plan. On part de P(1) = 1. Ensuite, connaissant P(N-1), on cherche P(N). Trois cas se présentent :

- Si N est premier, P(N) = N P(N-1).

- Si N = p^k avec p premier, alors p^k-1 est diviseur de P(N-1), mais pas p^k donc P(N) = p P(N-1). A noter qu'en faisant k=1 on retrouve le cas précédent.

- Sinon, N = p^k . q avec p premier et q non divisible par p. Ces deux termes figurent déjà dans P(N-1) et donc P(N) = P(N-1).

Alors on se lance dans un petit calcul numérique, et on trace la courbe P(N) en fonction de N. Comme ça grimpe vite, on regarde Ln P(N) en fonction de N. Et c'est droit. Non seulement c'est droit, mais la pente est ... 1. De là à dire que P(N) = k.exp(N), il y a un pas qu'il ne faut pas franchir, au risque de se prendre les pieds dans les marches de l'escalier de la fonction P.

Par contre on a une meilleure idée des mots-clés pour une recherche sur google et on retrouve très vite une bonne bande de copains rigolards. Non pas la bande du XVIIIème à laquelle on pouvait penser au départ (Euler, Gauss...), mais plutôt les gens du XIXème finissant. Ce machin a un lien avec le théorème des nombres premiers, et donc avec Zeta de Riemann, Tchebychev et compagnie. Dont Charles-Louis Joseph-Xavier de la Vallée-Poussin, bien connu des utilisateurs de BibTeX.

Etonnant, non?